Organisation

Le magistère est organisé sur trois années, correspondant aux années du L3 au M2.

Qu'est-ce que le magistère ?

Le magistère est une filière d’excellence sélective qui donne un diplôme supplémentaire par rapport au master de mathématiques. La formation dure trois ans. Les étudiants suivent le programme habituel de L3-M1-M2 et en parallèle l’enseignement spécifique au magistère.

Quel est l'enseignement spécifique du magistère ?

L’enseignement spécifique du magistère apporte une ouverture vers des sujets où la recherche mathématique est très active de nos jours. En plus des cours magistraux, l’enseignement comporte des groupes de lecture et un séminaire où les étudiants peuvent rencontrer des chercheurs. En troisième année, les étudiants effectuent un projet de fin d'études d’initiation à la recherche.

Conditions d'accès :

Les étudiants doivent être titulaires d’un L2 ou de 120 ECTS en classes préparatoires. La sélection se fait sur dossier.

Admission :

Les étudiants issus d'une L2 de l'UGA doivent remplir un dossier de candidature.
Les étudiants issus d'une autre formation doivent d'abord candidater en 3e année de licence de mathématiques. Sur le dossier que vous pourrez imprimer à la fin de candidature se trouvera une annexe destinée à candidater à ce magistère.

Types d'emploi 

Emplois possibles après un magistère de mathématiques :

- Professeur agrégé dans un lycée ou en classe préparatoire.
- Mathématicien dans une équipe de recherche et de développement en entreprise.
- Enseignant-chercheur dans une université.

Contenu de la formation

Les étudiants suivent le programme habituel de L3-M1-M2 et en parallèle l’enseignement spécifique au magistère.

Licence 3

Les étudiants inscrits en magistère suivent pendant l’année du L3 l’orientation A de la licence. L’orientation A, plus exigeante, se situe dans l’optique de la préparation de l’agrégation de mathématiques, de la poursuite d’études en M2 puis en études doctorales en mathématiques pures et appliquées. Elle permet également à l’étudiant(e) de candidater dans les écoles d’ingénieurs les plus sélectives.

En master 1 les étudiants suivent les enseignements Mathématiques fondamentales.

Au niveau du master 2 les étudiants ont le choix entre plusieurs orientations, les choix les plus courants sont :

Master 2 Préparation à l’agrégation

A l’issue des enseignements, vous pourrez passer l’agrégation. Cette formation obtient d’excellents résultats d’admission au concours, avec un taux de réussite autour de 75% en moyenne ces dernières années.

Master 2 Mathématiques fondamentales

Cette formation propose un parcours cohérent d’initiation à la recherche au travers d’une spécialisation. Elle s’adresse principalement aux étudiants qui se destinent à une thèse de doctorat en mathématiques et leur donne une expérience de recherche via le stage du deuxième semestre.

Cours spécifiques Magistère

L3

Cours 2017-2018

Première année (niveau L3)

Premier semestre : Compléments d’algèbre et de topologie

Ce cours comporte deux parties (que nous approfondirons plus ou moins, suivant le temps disponible) :

I) Les nombres premiers. Nous nous intéresserons aux questions suivantes : Comment les nombres premiers sont-ils répartis parmi les entiers naturels ? Comment décider si un entier donné est premier ou composé ? Comment trouver de grands nombres premiers ? Le lien avec la cryptographie sera évoqué. Cette partie du cours repose sur des méthodes issues de l’analyse et de l’algèbre.

II) Sous-groupes du groupe général linéaire. Nous débuterons l’étude des propriétés topologiques des sous-groupes dits classiques du groupe général linéaire sur le corps des nombres réels. Cette partie du cours conjugue algèbre et topologie.

Ce cours est assuré par Julien Roques.


Deuxième semestre :  Éléments de théorie des groupes et de topologie algébrique

La Topologie doit nous permettre de différencier des formes, comme par exemples, différentes surfaces, différents noeuds, différents univers possibles, mais tout ça "à déformation près". Dans ce point de vue de la flexibilité, la surface d'un ballon de rugby a la forme d'une sphere, mais aussi, finalement, d'un cube, mais pas celle d'une bouée, ni d'un descendeur en 8...

Mais il n'est pas si facile de différencier ces objets.
Poincaré nous propulse dans un nouveau domaine, en parlant de groupes dans ce contexte. Le groupe fondamental d'un espace topologique est un outil, à priori algébrique, qui permet de distinguer certains objets topologiques.  Avec ces groupes viennent des revêtements, dont ils sont des automorphismes. Revêtements universels et groupes fondamentaux sont les premiers acteurs de topologie vue sous un angle plutôt algébrique.

Nous verrons d'abord ces objets dans le cas assez immédiat de la dimension 1. Il ne s'agit que de parler de graphes, arbres, chemin. Mais nous rencontrerons tous les acteurs : les actions sur les arbres, les  caractéristiques d'Euler-Poincaré, les revêtements qui pourront être Galoisiens (ou pas)...

Dans le cas des surfaces (ouverts du plan, surfaces dans R^3, etc), et de  dimensions plus grandes, nous nous armerons du théorème de Seifert-van-Kampen et nous verrons ses applications. Nous verrons mieux la richesse du jeu des acteurs précédents.

Nous aurons bien des groupes, nous pourrons parfois les calculer, mais nous verrons à quel point c'est encore limité. Que faire avec ces groupes ? L'algèbre seule nous sauvera-t-elle à chaque fois ? Devrons nous appeler la topologie et la géométrie à notre aide ?

Ce cours est assuré par François Dahmani

M1

Premier semestre : Théorie des distributions et analyse de Fourier.

Ce cours est consacré aux deux grands outils de l'analyse qui sont la théorie des distributions et l'analyse de Fourier. 

- L'analyse de Fourier est dominée par des concepts de série et surtout de transformation de Fourier. Lorsqu'on veut analyser qualitativement ou quantitativement une fonction, l'idée la plus simple est l'analyse "en amplitude" fondée sur les valeurs ponctuelles. L'analyse de Fourier permet d'y superposer une analyse "en fréquence" : quelles sont les fréquences qui contribuent à l'écriture de f, y contribuent-elles peu ou beaucoup... ? Ce point de vue revient à faire l'analyse "en amplitude" de F(f), où F(f) est la transformée de Fourier de f. L'analyse en fréquence s'est relevée d'une importance aussi grande que l'analyse en amplitude (leurs rôles sont symétriques en mécanique quantique par exemple).
- La théorie des distributions. Il s'agit d'une extension de la notion de fonction, qui a joué un rôle très important dans le développement de l'analyse. Elle a permis de tels progrès en théorie des équations aux dérivées partielles et en analyse harmonique que l'on ne saurait plus parler de ces deux branches sans y avoir recours. 

Ce cours est assuré par Dietrich Häfner 


Deuxième semestre : Surfaces de Riemann

Les surfaces de Riemann sont des objets analytico-géométriques généralisant les ouverts du plan complexe en ceci qu’elles sont susceptibles de porter tout l’attirail de l’analyse complexe en une variable : fonctions holomorphes, méromorphes, formes différentielles, intégrales de contour..... Le cours développera les bases de la théorie avec comme objectif la correspondance Surfaces de Riemann compactes / Corps de fonctions algébriques sur les complexes qui établit un lien surprenant entre analyse et algèbre. Chemin faisant, on sera aussi amené à se familiariser avec les aspects topologiques de la théorie ; revêtements, groupe fondamental, genre d’une surface de Riemann compacte.

Prérequis : Topologie des espaces métriques, Analyse complexe

Ce cours est assuré par Jean-Pierre Demailly


Cours de physique : mécanique classique (premier semestre) et quantique (deuxième semestre).

L'objectif de ce cours et de parcourir les principaux modèles mathématiques utilisés en physique (et qui permettent l'explication de phénomènes naturels). On suivra le développement historique de la physique; Cela permet de voir et de comprendre la progression nécessaire vers une abstraction grandissante. Le cours utilisera le langage mathématique (avec définitions, théorèmes, preuves données la plupart du temps, sinon avec des références précises) mais orienté pour la physique. On essayera de faire la distinction entre un traitement mathématique (rigoureux) et des extrapolations à des modèles traités heuristiquement (non rigoureusement) mais validés par les expériences.
Les modèles mathématiques présentés seront accompagnés d'exemples d'applications à des phénomènes physique concrets, montrant leur intérêt. Le contenu détaillé de ce cours peut être trouvé ici.

Ce cours est assuré par Frédéric Faure

M2

Projet de fin d'études dans un laboratoire ou en entreprise.

Exemples de projets :

- Critère de Schneider-Lang et transcendance.
- La géométrie des trous noirs.
- Courbes elliptiques.
- Le troisième problème de Hilbert. A propos de la géométrie des polyèdres.

 

Séminaire du magistère

Séminaire du magistère de l’année 2016-2017

Le séminaire est un endroit où les magisteriens peuvent rencontrer les chercheurs. En particulier :
  • les collègues mathématiciens viennent pour exposer les problèmes et thèmes de recherche qui les intéressent
  • les magistériens présentent leur rapport de stages
Des étudiants non inscrits au magistère peuvent assister aux exposés.

Septembre

29/09/2016 à 16h45, amphi Chabauty.

Roland Bacher : Le verger de la Reine de Coeur

Résumé :
L'irascible Reine de Coeur, (protagoniste d'Alice au pays des merveilles), a chargé ses jardiniers de réaliser un verger de cerisiers et de pruniers. Elle a elle-même sélectionné
les emplacements des arbres et elle exige de ses jardiniers un choix rationnel des espèces. Je propose de présenter la solution d'Alice qui munit un ensemble fini générique du plan d'une relation d'équivalence en deux classes. Je vais ensuite généraliser cette construction en montrant qu'elle provient d'un morphisme entre certains groupes reliés aux groupes symétriques.
 

Octobre

13/10/2016 à 17h, amphi Chabauty.

Emmanuel Trélat : Tout est sous contrôle: les mathématiques optimisent le quotidien. (Vidéo)
De façon empirique, nous parvenons à faire beaucoup de choses avec plus ou moins d’efficacité et de réussite. Quand il s’agit de faire un créneau, les conséquences peuvent parfois être risibles... Mais quand il s’agit de propulser une fusée ou de planifier des missions interplanétaires, il vaut mieux ne pas rater son coup.
La théorie du contrôle est une branche des mathématiques qui permet de contrôler, d'optimiser et de guider des systèmes sur lesquels on a une action, comme par exemple une voiture, un robot, une navette spatiale, une réaction chimique ou de manière générale un quelconque procédé que l'on tente de mener vers un certain état final désiré.
Emmanuel Trélat donnera un aperçu des champs d'application de cette théorie à travers différents exemples, parfois cocasses, mais aussi historiques. Il vous montrera que l’étude de cas simples de notre quotidien, loin d’être anodins, permettent d’aborder des problématiques comme le transfert orbital ou les missions spatiales interplanétaires.

Novembre

17/11/2016 a 16h30, salle 4.

Claire Amiot : Categories et Representations de carquois.
Résumé : Dans cet expose j'essaierai de motiver et d'introduire infor-
mellement la notion de categorie. Puis j'expliquerai quel genre de question
un "categoricien" peut être amené a resoudre. Comme illustration, je parle-
rai des categories de representations de carquois, et j'enoncerai un très joli
théorème de classi cation dû a Pierre Gabriel datant de 1972.

Décembre

08/122016 à 16h30, salle 4.

Sara Checcoli : Une promenade sur les zéros des polynômes

Résumé : Cette balade nous aménera du théorème de Pythagore à la Conjecture de Mordell, en passant par des feuilles de TD babyloniennes, des matheux végétariens, des poèmes volés et des problèmes indécidables. Bref, (presque) tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur les solutions des équations polynomiales sans jamais oser le demander.

Janvier

-19/01/2017 à 17h, salle 4.

Séverin Philip : Transcendance et critère de Schneider-Lang.
 

Résumé : L'étude de la nature algébrique des nombres est une question qui a beaucoup occupé et occupe encore les mathématiciens.
Comment montrer que des nombres sont transcendants ? Une réponse est apportée par le critère de Schneider-Lang qui permet en outre de répondre au 7ème problème de Hilbert qui était de démontrer la transcendance de $a^b$ pour $a$ algébrique non nul et différent de $1$ et $b$ algébrique irrationnel. Ce problème a été résolu historiquement en 1935 par Gelfond et Schneider simultanément. Le critère de Schneider-Lang donne un résultat plus général qui permet de retrouver les résultats classiques comme la transcendance de $e$ (Hermite - 1873) ou la transcendance de $\pi$ (Lindemann - 1882).

-26/01/2017  à 17h, salle 4.

Marina Poulet : Le théorème de Bézout
 

Résumé : Le théorème de Bézout est un théorème de géométrie algébrique dû à Etienne Bézout en 1764 qui s'intéresse aux points d'intersection entre deux courbes algébriques planes de degré $p$ et $q$. Je démontrerai dans un premier temps la borne de Bézout : soit $k$ un corps, si $P$, $Q\in k[X,Y]$ sont premiers entre eux de degré totaux respectifs $p$ et $q$, alors il y a au plus $pq$ points d'intersection entre les courbes $P(x,y)=0$ et $Q(x,y)=0$. On pourrait imaginer que l'on ait en fait exactement $pq$ points d'intersection, mais cela serait trop naïf pour être vrai. J'expliquerai donc ensuite
comment obtenir effectivement ces $pq$ points d'intersection. Et, cela m'emmènera à introduire la notion de géométrie projective, une géométrie où deux droites parallèles se coupent, à l'infini bien sûr.

Février

09/02/2017  à 17h, salle 4.

Vanessa Vitse : Quand les mathématiques se mettent au service de la protection de l'information.
 

Résumé : Alors que la cryptographie était autrefois uniquement réservée aux militaires, elle est aujourd'hui devenue omniprésente : les cartes bancaires, l'explosion du commerce en ligne, l'utilisation massive des téléphones portables, les objets
connectés,... nécessitent de façon évidente une protection des données échangées.
Dans cet exposé, on présentera rapidement deux grandes familles de systèmes cryptographiques (à clé secrète et à clé publique). On expliquera comment, grâce à des objets mathématiques avancés comme par exemple des courbes algébriques sur des corps finis, l'on a pu passer de systèmes de chiffrements basiques et peu robustes à des systèmes modernes, pour lesquels retrouver l'information sensible est impossible même si l'on a accès à une puissance de calcul importante ou à un ordinateur quantique.
A titre récréatif, quelques exemples d'applications cryptographiques seront présentés : pile ou face à distance, partage de secrets, preuve zero-knowledge, traitement de données chiffrées sans décryptage.

Mars

30/03/2017  à 17h, amphi Chabauty.


Gérard Besson : La conjecture de Poincaré : une aventure mathématique du XXème
siècle.
Résumé : Comme toutes les grandes conjectures la question posée par Henri Poincaré en 1904, appelée "conjecture de Poincaré", a conduit la communauté mathématique à développer de formidables concepts et outils. Nous décrirons la question en commençant par le cas des surfaces, un bref historique, l'outil analytique principal et une application.

Avril

-13/04/2017, à 17h, salle 4.

Nicolas Besset : La géométrie des trous noirs : métrique de Schwarzschild

Résumé : la métrique de Schwarzschild décrit un espace-temps contenant un corps immobile, statique et sphérique. D'un point de vue mathématique, il s'agit d'une variété lorentzienne de dimension 4, solution des équations d'Einstein dans le vide. Afin de pouvoir étudier la géométrie de cet espace-temps, nous commencerons tout d'abord par introduire les notions de variété pseudoriemannienne. Nous décrirons ensuite certains phénomènes physiques propres aux espace-temps courbes que le mécanique newtonienne ne prédit pas.   

Vidéos de l'année universitaire 2015-2016

Octobre

08/10/2015, 17h, amphi Chabauty.
Jean-Pierre Demailly : "Bulles de savon, équations d’Einstein et structure de l’espace-temps". (Vidéo)
Résumé : L’objet de l’exposé sera de montrer comment les notions de courbure interviennent aussi bien dans la géométrie des films de savon, que dans l’étude de la structure de l’univers et dans celle des interactions fondamentales de la Physique. Un principe général est qu’à l’équilibre les forces s’exerçant sur un système matériel doivent s’annuler. Il en résulte en particulier que les objets à courbure nulle ont une grande importance pour décrire les états d’équilibre. Nous essaierons d’illustrer une partie des mathématiques mises en jeu.

Mars

17/03/2016 à 17h, amphi Chabauty.
Vincent Beffara : Quelques questions autours des marches aléatoires. (Vidéo).
Résumé : la marche aléatoire simple sur le réseau ${\mathbb Z}^d$, pour laquelle à chaque pas un marcheur choisit de sauter vers l'un de ses $2d$ voisins avec la même probabilité, est un objet très bien compris des probabilistes ; en particulier, on sait qu'elle revient une infinité de fois à son point de départ si $d=1$ ou $d=2$, mais qu'elle s'échappe \`a l'infini si $d>2$. Mais dès qu'on modifie un petit peu le processus en donnant au marcheur la mémoire de sa trajectoire, on arrive vite à des questions d'énoncé très simple qui résistent encore aux mathématiciens. Je raconterai quelques uns de ces problèmes.

Université Grenoble-Alpes, Institut Fourier,  100 rue des Maths, 38610 Gières.