Types de cours spécifiques en magistère

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Année 2022-2023

> Première année (niveau L3) :

Premier semestre : Compléments d’algèbre et de topologie

Ce cours comporte deux parties (que nous approfondirons plus ou moins, suivant le temps disponible) :

I) Les nombres premiers. Nous nous intéresserons aux questions suivantes : Comment les nombres premiers sont-ils répartis parmi les entiers naturels ? Comment décider si un entier donné est premier ou composé ? Comment trouver de grands nombres premiers ? Le lien avec la cryptographie sera évoqué. Cette partie du cours repose sur des méthodes issues de l’analyse et de l’algèbre.
II) Sous-groupes du groupe général linéaire. Nous débuterons l’étude des propriétés topologiques des sous-groupes dits classiques du groupe général linéaire sur le corps des nombres réels. Cette partie du cours conjugue algèbre et topologie.
 

Ce cours est assuré en 2022/23 par Samuel Le Fourn.

Deuxième semestre :  Éléments de théorie des groupes et de topologie algébrique

La Topologie doit nous permettre de différencier des formes, comme par exemples, différentes surfaces, différents noeuds, différents univers possibles, mais tout ça "à déformation près". Dans ce point de vue de la flexibilité, la surface d'un ballon de rugby a la forme d'une sphere, mais aussi, finalement, d'un cube, mais pas celle d'une bouée, ni d'un descendeur en 8...

Mais il n'est pas si facile de différencier ces objets.
Poincaré nous propulse dans un nouveau domaine, en parlant de groupes dans ce contexte. Le groupe fondamental d'un espace topologique est un outil, à priori algébrique, qui permet de distinguer certains objets topologiques.  Avec ces groupes viennent des revêtements, dont ils sont des automorphismes. Revêtements universels et groupes fondamentaux sont les premiers acteurs de topologie vue sous un angle plutôt algébrique.

Nous verrons d'abord ces objets dans le cas assez immédiat de la dimension 1. Il ne s'agit que de parler de graphes, arbres, chemin. Mais nous rencontrerons tous les acteurs : les actions sur les arbres, les  caractéristiques d'Euler-Poincaré, les revêtements qui pourront être Galoisiens (ou pas)...

Dans le cas des surfaces (ouverts du plan, surfaces dans R^3, etc), et de  dimensions plus grandes, nous nous armerons du théorème de Seifert-van-Kampen et nous verrons ses applications. Nous verrons mieux la richesse du jeu des acteurs précédents.

Nous aurons bien des groupes, nous pourrons parfois les calculer, mais nous verrons à quel point c'est encore limité. Que faire avec ces groupes ? L'algèbre seule nous sauvera-t-elle à chaque fois ? Devrons nous appeler la topologie et la géométrie à notre aide ?

Ce cours est assuré en 2022/23 par Rémi Molinier.

> M1

Premier semestre : groupe de lecture sur les systèmes dynamiques.

Depuis Isaac Newton, les équations différentielles jouent un rôle essentiel dans bien des domaines : en mathématique bien sûr, mais aussi en physique, mécanique, chimie, biologie et même en économie.
Ces équations apparaissent chaque fois que l’on veut décrire l’évolution déterministe d’un système au cours du temps : systèmes de points matériels, réactions chimiques, problèmes d’évolution de population, de diffusion d’épidémies, en météorologie, etc. Et comme souvent, nous ne savons pas les résoudre...
Au début du XXème siècle, Henri Poincaré décide d’étudier la géométrie des équations, plutôt que les solutions ! C'est la naissance des systèmes dynamiques. Délaissant les formules exactes, les "dynamiciens" se concentrèrent alors sur les propriétés qualitatives, géométriques ou probabilistes de ces équations, pour y découvrir ainsi des phénomènes très étrange, comme le chaos...
La théorie des systèmes dynamiques reste depuis cette époque un domaine extrêmement vivant des mathématiques dont le champ des applications n’a cessé de se développer. Elle occupe même une place extrêmement importante au sein d'autres domaines, comme la théorie des nombres, la géométrie, la météorologie, etc.
Cet enseignement est assuré en 2022/23 par Erwan Lanneau.

Deuxième semestre : Surfaces de Riemann

Les surfaces de Riemann sont des surfaces comme la sphère ou le tore, mais vues comme objets d'une variable complexe. Le cours a pour objectif la correspondance entre surfaces de Riemann compactes et extensions finies du corps des fractions rationnelles C(T) qui établit un lien surprenant entre analyse et algèbre. Chemin faisant, on sera aussi amené à se familiariser avec les aspects topologiques de la théorie ; revêtements, groupe fondamental, genre d’une surface de Riemann compacte.

Prérequis : Topologie des espaces métriques, Analyse complexe

Ce cours est assuré en 2022/23 par Emmanuel Peyre.
 

Cours de physique : mécanique classique (premier semestre) et quantique (deuxième semestre).

L'objectif de ce cours et de parcourir les principaux modèles mathématiques utilisés en physique (et qui permettent l'explication de phénomènes naturels). On suivra le développement historique de la physique; Cela permet de voir et de comprendre la progression nécessaire vers une abstraction grandissante. Le cours utilisera le langage mathématique (avec définitions, théorèmes, preuves données la plupart du temps, sinon avec des références précises) mais orienté pour la physique. On essayera de faire la distinction entre un traitement mathématique (rigoureux) et des extrapolations à des modèles traités heuristiquement (non rigoureusement) mais validés par les expériences.
Les modèles mathématiques présentés seront accompagnés d'exemples d'applications à des phénomènes physique concrets, montrant leur intérêt. Le contenu détaillé de ce cours peut être trouvé ici.

Ce cours est assuré en 2022/23 par Bertrand Fourcade.
> M2

Projet de fin d'études dans un laboratoire ou en entreprise.

Exemples de projets :

  • Critère de Schneider-Lang et transcendance.
  • La géométrie des trous noirs.
  • Courbes elliptiques.
  • Le troisième problème de Hilbert. A propos de la géométrie des polyèdres.
Séminaire du magistère

Séminaire du magistère de l’année 2019-2020

Le séminaire est un endroit où les magistérien·ne·s peuvent rencontrer les chercheur.euses. En particulier :
  • les collègues mathématicien.ne.s viennent pour exposer les problèmes et thèmes de recherche qui les intéressent
  • les magistérien.ne.s présentent leur rapport de stages
Des étudiant·e·s non inscrit·e·s au magistère peuvent assister aux exposés.

Programme 2020/21 :

Jeudi 15 octobre 2020.
Hervé Pajot (Institut Fourier), Le problème de Plateau est-il résolu?

Jeudi 12 novembre 2020.
Nadia Brauner (G-SCOP), La Recherche Opérationnelle : des mathématiques pour la décision.

Jeudi 10 décembre 2020.
Frédéric Mouton (Lycée Berthollet), Opération Casse-têtes.

Jeudi 21 janvier 2021.
Vanessa Vitse (Institut Fourier), Introduction à la cryptographie, ou quand les mathématiques se mettent au service de la protection de l'information.

Jeudi 4 février 2021.
Jean-Baptiste Meilhan (Institut Fourier), Un petit aperçu de la théorie des noeuds.

Jeudi 18 mars 2021.
Olivier François (TIMC IMAG), Le pangolin est innocent mais il n'y aura pas de gateau après le séminaire.

Jeudi 15 avril 2021.
Sara Checcoli (Institut Fourier), Une balade, en hauteur, autour des zéros de polynômes.

Quelques vidéos des années antérieures

Octobre 2015

08/10/2015, 17h, amphi Chabauty.
Jean-Pierre Demailly : "Bulles de savon, équations d’Einstein et structure de l’espace-temps". (Vidéo)
Résumé : L’objet de l’exposé sera de montrer comment les notions de courbure interviennent aussi bien dans la géométrie des films de savon, que dans l’étude de la structure de l’univers et dans celle des interactions fondamentales de la Physique. Un principe général est qu’à l’équilibre les forces s’exerçant sur un système matériel doivent s’annuler. Il en résulte en particulier que les objets à courbure nulle ont une grande importance pour décrire les états d’équilibre. Nous essaierons d’illustrer une partie des mathématiques mises en jeu.

Mars 2016

17/03/2016 à 17h, amphi Chabauty.
Vincent Beffara : Quelques questions autours des marches aléatoires. (Vidéo).
Résumé : la marche aléatoire simple sur le réseau ${\mathbb Z}^d$, pour laquelle à chaque pas un marcheur choisit de sauter vers l'un de ses $2d$ voisins avec la même probabilité, est un objet très bien compris des probabilistes ; en particulier, on sait qu'elle revient une infinité de fois à son point de départ si $d=1$ ou $d=2$, mais qu'elle s'échappe \`a l'infini si $d>2$. Mais dès qu'on modifie un petit peu le processus en donnant au marcheur la mémoire de sa trajectoire, on arrive vite à des questions d'énoncé très simple qui résistent encore aux mathématiciens. Je raconterai quelques uns de ces problèmes.

Université Grenoble-Alpes, Institut Fourier,  100 rue des Maths, 38610 Gières.

Octobre 2016

13/10/2016 à 17h, amphi Chabauty.

Emmanuel Trélat : Tout est sous contrôle: les mathématiques optimisent le quotidien. (Vidéo)
De façon empirique, nous parvenons à faire beaucoup de choses avec plus ou moins d’efficacité et de réussite. Quand il s’agit de faire un créneau, les conséquences peuvent parfois être risibles... Mais quand il s’agit de propulser une fusée ou de planifier des missions interplanétaires, il vaut mieux ne pas rater son coup.
La théorie du contrôle est une branche des mathématiques qui permet de contrôler, d'optimiser et de guider des systèmes sur lesquels on a une action, comme par exemple une voiture, un robot, une navette spatiale, une réaction chimique ou de manière générale un quelconque procédé que l'on tente de mener vers un certain état final désiré.
Emmanuel Trélat donnera un aperçu des champs d'application de cette théorie à travers différents exemples, parfois cocasses, mais aussi historiques. Il vous montrera que l’étude de cas simples de notre quotidien, loin d’être anodins, permettent d’aborder des problématiques comme le transfert orbital ou les missions spatiales interplanétaires.

Octobre 2017

19/10/2017 à 17h, amphi Chabauty.

Emmanuel Peyre : Des entiers au hasard (Vidéo).

L'étude des équations diophantiennes, qui est un des volets les plus anciens des mathématiques, consiste à rechercher les solutions entières d'équations comme $$X^d+Y^d=Z^d.$$.
A priori on pourrait penser que si l'on considère les différents domaines des mathématiques, il n'en est pas de plus éloignés que l'arithmétique et les probabilités. Mais confirmant l'unité de la mathématique, un leitmotiv des recherches actuelles sur les équations diophantiennes est en fait que les entiers se comportent de façon aussi aléatoire que possible.

Le but de l'exposé est de donner un bref aperçu de l'utilisation de ce principe et de ses limites à l'aide de quelques exemples explicites.
Publié le  25 mars 2024
Mis à jour le 25 mars 2024